Spelarens felslut
Föreställningen att ett resultat ”står på tur” eftersom det inte har kommit på ett tag.
Efter tio röda är sannolikheten för svart fortfarande 18/37. Hjulet för ingen bok och är inte skyldigt något.
Felslutet
Om röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → har kommit tio gånger känner många spelare att svartsatsningSvartEnkel chans på de 18 svarta numren. Franska: noir.Läs hela → ”står på tur” och satsar därefter. Andra upplever att rött är ”hett” och satsar på det. Båda resonerar från en följd som redan är slut till ett snurr som ännu inte har skett. KulanutrustningKulaDen lilla kula som skickas i väg längs banan mot rotorns riktning. Moderna kulor är av ivorine eller teflon, 18–21 mm.Läs hela → vet inte vilka de tio senaste snurren var; fackenutrustningFackEtt av de 37 numrerade facken på rotorn. Kallas även ficka, kopp.Läs hela → är lika stora som för en timme sedan; sannolikhetenmatematikSannolikhetMåttet på hur troligt ett utfall är, från 0 till 1 eller 0% till 100%. Ett nummer: 1/37 = 2,70%.Läs hela → för svart är 18/37, som den alltid har varit.
Varför det känns sant
I längden närmar sig andelarna röd och svart 18/37 vardera. De stora talens lagmatematikDe stora talens lagGenomsnittet av oberoende resultat konvergerar mot väntevärdet när antalet försök växer.Läs hela → garanterar det. Men konvergensen sker genom utspädning, inte genom korrigering: efter 1 000 snurr till är de tio extra röda ett avrundningsfel i andelen, inte för att svart har kommit ikapp utan för att stickprovet har vuxit. Det finns ingen mekanism som gör svart mer sannolikt, och de stora talens lag kräver ingen.
Monte Carlo, 18 augusti 1913
Svart kom 26 gånger i rad vid ett bord på Casino de Monte-Carlo. Från ungefär den femtonde svarta rusade spelarna till rött, dubblade och dubblade igen, varje snurr ”säkrare” än det förra. Kasinot vann miljontals franc. Sviten hade sannolikheten 1 på 137 miljoner från första svarta, och sannolikheten att den förr eller senare skulle inträffa någonstans i världens kasinon var i det närmaste ett. Det är anledningen till att spelarens felslut också kallas Monte Carlo-felslutet.
Obetydligt. Händer en gång på 44.
Spelarna börjar lägga märke till det. Rött ”står på tur”.
Bordet är fullt. Insatserna på rött dubbleras efter varje förlust.
Förmögenheter förlorade. Varje ny svart får rött att kännas säkrare.
Sviten tar slut. Kasinot har vunnit miljontals franc av människor som satsade mot en svit som inte kunde ”veta” att den var en svit.
Den heta handen
Att satsa på en färg för att den har en svit är samma misstag åt andra hållet: sviten väntas fortsätta i stället för att ta slut. Psykologer kallar det het handmytHet handFöreställningen att en svit av vinster, eller av ett visst utfall, gör ännu ett mer sannolikt. Vid hjulet är det spelarens felslut åt andra hållet.Läs hela →, efter en studie från 1985 av Gilovich, Vallone och Tversky som letade efter sviter i basketskytte och inte fann några utöver slumpen. År 2018 visade Miller och Sanjurjo att själva testet hade lutat: i en kort serie blir andelen träffar direkt efter en träff i genomsnitt lägre än skyttens totala träffandel, så en spelare helt utan het hand ser en aning kall ut. Korrigerade visar samma data en måttlig het hand. En människa kan bli varm i kläderna; ett hjul har ingen form att vara i. Vissa spelare håller båda föreställningarna i huvudet samtidigt: att en svit fortsätter tills den är ”för lång” och då tar slut. På ett rättvist hjul har varje version samma väntevärdematematikVäntevärdeDet genomsnittliga resultatet per satsning i längden. −1/37 av insatsen för varje vanlig europeisk satsning.Läs hela → som att välja färg genom att singla slant: −2,70% av insatsen.
Vid ett riktigt bord
Croson och Sundali (2005) gick igenom 18 timmar övervakningsvideo från ett bord med dubbelnollahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela → på ett stort kasino i Reno: 139 spelare som lade 24 131 satsningar. På de enkla chansernasatsningEnkel chansRött/svart, udda/jämnt, högt/lågt. 18 nummer, betalar 1:1.Läs hela → var spelarna ungefär jämnt fördelade mellan att följa korta sviter och att gå emot dem. Efter fem lika i rad lutade de åt att gå emot sviten, och efter sex eller fler låg 85% av deras satsningar på andra sidan. Samma spelare visade het hand om sig själva: efter en vinst på nummer täckte de i genomsnitt 13,6 nummer i nästa snurr, mot 9,2 efter en förlust. Deras hjul visade inga tecken på skevhet, så inget av detta ändrade vad någon av dem kunde förvänta sig.
Utanför kasinot
Samma tendens syns där verkliga beslut fattas. Clotfelter och Cook (1993) följde Marylands dagliga nummerlotteri: pengarna som satsades på ett nummer sjönk kraftigt så fort det hade dragits och tog månader att återhämta sig, fast dragningen inte har något minne. Chen, Moskowitz och Shue (2016) fann det bland yrkesfolk. Asyldomare i USA var upp till 3,3 procentenheter mer benägna att avslå ett ärende om de hade beviljat det föregående. Basebolldomare var 1,5 procentenheter mindre benägna att döma strike direkt efter att ha dömt en, och mer än dubbelt så mycket på kast nära gränsen. I ett fältexperiment med kreditbedömare som fick fast ersättning ändrades upp till 9% av besluten på det sättet. Ärendena kom i slumpmässig ordning, så det senaste beslutet sa ingenting om nästa, precis som det senaste snurret inte säger något om nästa.
Spelarens omvända felslut
Filosofen Ian Hacking (1987) namngav en tredje variant. Någon kommer in i ett rum, ser ett par tärningar landa på dubbelsexa och drar slutsatsen att de måste ha kastats många gånger redan. Varje kast har samma sannolikhet att bli dubbelsexa, vare sig det är kvällens första eller tusende, så synen säger ingenting om hur länge spelet har pågått. I roulette är det spelaren som kommer fram till en resultattavla med åtta röda och bestämmer sig för att bordet måste ha snurrat i timmar för att få fram dem. Det vanliga felslutet läser in det förflutna i nästa snurr; det här läser in en sällsynt syn i ett förflutet som ingen såg.
En psykolog som trodde på det
Felslutet har haft lärda försvarare. Den tyske psykologen Karl Marbe gick igenom fyra register med 49 152 födslar vardera, fann att den längsta följden av pojkar eller av flickor i rad var 17 och drog slutsatsen att långa följder är ovanligare än slumpen medger, så att en följd gör det andra utfallet mer sannolikt. Slumpen ensam säger något annat: bland 196 608 födslar dyker en följd på 17 eller fler upp ungefär fyra gånger av fem. Marbe hade hittat precis hur en slumpmässig följd ser ut. Epstein (2013) återberättar fallet; Sannolikheten för sviter ger roulettevarianten.
Där felslutet inte gäller
Om hjulet vore fysiskt skevt skulle tidigare snurr vara informativa, eftersom de vore belägg om facken och inte om tur. Det är labbets ämne, och det krävs tusentals snurr från ett och samma identifierade hjul för att säga något. För en svit på tio röda på ett okänt hjul är förklaringen skevhet långt mindre sannolik än slumpen.
Frågor
Nej. Det gäller varje oberoende upprepad händelse: tärningar, slantsinglingar, lottonummer.
Andelarna kommer att närma sig varandra. Ditt resultat blir ändå ungefär −2,70% av det du satsat.
Det finns ingen medelvärdets lag. Det finns de stora talens lag, och den fungerar genom utspädning.
Matte för nöjes skull
Försök själv först. Varje lösning är hopfälld; öppna den när du är redo.
Efter 10 kast visar ett mynt 7 krona och 3 klave. Efter 1 000 kast visar det 517 krona och 483 klave. Kom klave ikapp?
Visa lösningen
Svar Nej. Skillnaden växte från 4 till 34. Det var bara kvoten som kom närmare jämnt.
Kvoten mellan krona och klave föll från 7/3, omkring 2,33, till 517/483, omkring 1,07. Det är de stora talens lagmatematikDe stora talens lagGenomsnittet av oberoende resultat konvergerar mot väntevärdet när antalet försök växer.Läs hela → i arbete.
Skillnaden mellan dem växte, från 4 till 34. Med ett rättvist mynt är en skillnad på omkring 30 efter 1 000 kast helt vanlig: den typiska skillnaden växer ungefär med kvadratroten ur antalet kast, medan kvoten närmar sig 1.
Ingenting drog tillbaka klave. Det tidiga överskottet av krona späddes ut av de följande 990 kasten, det rättades inte till.
Singla slant fyra gånger och titta bara på de kast som kommer direkt efter krona. Hur stor andel av dem är krona? Räkna ut det för var och en av de 16 möjliga följderna och ta medelvärdet av andelarna. Blir det 50%?
Visa lösningen
Svar Nej. Det blir 17/42, omkring 40,5%. Sett på det här sättet verkar ett rättvist mynt bli kallt efter krona.
Skriv upp de 16 följderna, med H för krona och T för klave (efter engelskans heads och tails). Två av dem, TTTT och TTTH, har ingen krona bland de tre första kasten, så inget kast följer på krona; kvar blir 14.
Ta i varje följd de kast som följer på krona och räkna ut hur stor andel av dem som är krona. HHHH ger 3 av 3. HHHT ger 2 av 3. HTHT ger 0 av 2. Går du igenom alla 14 ger sex följder 0, fyra ger 1/2, en ger 2/3 och tre ger 1 (HHHH, THHH och TTHH).
Lägg ihop andelarna: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Dela med 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Inget kast gynnar klave; vart och ett är 50–50. Snedheten kommer av att medelvärdet tas följd för följd: en följd full av krona har många kast att titta på men räknas en gång, precis som en följd med bara en krona. Miller och Sanjurjo (2018) visade att studien om het hand från 1985 hade mätt sina basketspelare just så, så spelare som inte verkade ha fler sviter än slumpen i själva verket hade haft något fler.
Komisk paus
Utspädning, inte korrigering. Hjulet är inte skyldigt något.
Källor
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”