Problem: födelsedagshjulet
Hur många snurr tills något nummer upprepas? Betydligt färre än de flesta gissar.
Födelsedagsproblemet på ett hjul med 37 fackutrustningFackEtt av de 37 numrerade facken på rotorn. Kallas även ficka, kopp.Läs hela →: redan efter 8 snurr är det mer sannolikt än inte att något nummer har kommit två gånger. Spelare tolkar upprepningar som mönster; de är det förväntade beteendet hos ett rättvist hjul.
Problemet
Snurra ett rättvist europeiskt hjul. Hur många snurr tills sannolikhetenmatematikSannolikhetMåttet på hur troligt ett utfall är, från 0 till 1 eller 0% till 100%. Ett nummer: 1/37 = 2,70%.Läs hela → att minst två snurr har visat samma nummer överstiger en halv? De flesta spelare gissar något kring 18 eller 19, hälften av 37. Svaret är 8.
Lösningen
Räkna ut sannolikheten för ingen upprepning och dra den från ett. Efter k snurr är p(alla olika) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). För k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, så p(någon upprepning) ≈ 0,56. För k = 14 är den 0,93; för k = 20 är den 0,996. Intuitionen sviker eftersom antalet par av snurr växer som k², och vilket par som helst kan matcha.
Varför det spelar roll vid bordet
En resultattavla med de senaste 20 numren visar nästan alltid minst en upprepning, ofta två eller tre. Spelare ser ”17 kom två gånger på tio snurr” och drar slutsatsen att 17 är hett; födelsedagsräkningen säger att en upprepning inom tio snurr inträffar 74% av gångerna och att det upprepade numret är slumpmässigt. Mönstret är verkligt; betydelsen är det inte.
Uppföljningsproblemet
Hur många snurr tills ett bestämt nummer, säg 17, har kommit två gånger? Det är en annan fråga med ett mycket större svar: den förväntade väntan är 74 snurr, och sannolikheten för att 17 kommer två gånger inom 20 snurr är cirka 10%. Skillnaden mellan ”något nummer upprepas” (8 snurr) och ”det här numret upprepas” (74 snurr) är hela skillnaden mellan ett mönster du märker efteråt och en förutsägelse du gör i förväg.
Prova själv
Kör demospelet i tio snurr och titta på historiken. Det finns oftast en upprepning. Kör det igen. Det upprepade numret blir ett annat. Gör det tio gånger och du har sett födelsedagsproblemetmatematikFödelsedagsproblemetHur många personer som behövs innan två troligen har samma födelsedag, eller hur många snurr innan ett nummer troligen upprepas. På ett hjul med 37 fack räcker 8 snurr för en sannolikhet över hälften.Läs hela →; gör det tusen gånger (simulatorerna kan) och du har mätt det.
Formel
Frågor
Precis, med 37 fack i stället för 365 dagar. 23 personer ger 50% för födelsedagar; 8 snurr ger 56% för hjulet.
50% efter cirka 19 snurr. Fortfarande vardagligt.
Nej. Tusentals snurr från ett hjul skulle göra det; en upprepning gör det aldrig.
Matte för nöjes skull
Försök själv först. Varje lösning är hopfälld; öppna den när du är redo.
En resultattavla bredvid ett amerikanskt hjul visar de 16 senaste snurren. Hur sannolikt är det att inget nummer står två gånger på den?
Visa lösningen
Svar Omkring 2,5%: ungefär 39 tavlor av 40 visar minst en upprepning.
Gå snurr för snurr. Det första snurret kan bli vad som helst. Det andra måste missa det: 37 möjligheter av 38. Det tredje måste missa båda: 36 av 38. Det sextonde måste missa femton nummer: 23 av 38.
Multiplicera: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Det är tavlan utan upprepning som är den ovanliga. En tavla med en upprepning säger ingenting om hjulet.
Hur stor är sannolikheten att 17 kommer exakt fem gånger på tio snurr på ett europeiskt hjul? Att något nummer, vilket som helst, kommer fem gånger eller fler? Och att något nummer kommer minst tre gånger på fyra snurr?
Visa lösningen
Svar 17 exakt fem gånger: 1 på 315 576. Något nummer fem gånger eller fler: ungefär 1 på 8 333. Något nummer tre gånger eller fler på fyra snurr: 1 på 349.
17 fem gånger: välj vilka fem av de tio snurren, 252 sätt, vart och ett med sannolikheten (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Tillsammans 1 på 315 576.
Något nummer: vart och ett av de 37 numren har sannolikheten 1 på 308 325 att få fem träffar eller fler, vilket ger 37 på 308 325, eller 1 på 8 333. Det sällsynta fallet med två nummer som får fem träffar var räknas två gånger, men att ta bort det ändrar ingenting vid den här precisionen.
Tre gånger på fyra snurr: för ett nummer 4 × 36 + 1 = 145 av de 37⁴ möjliga utfallen; för vilket som helst av de 37 numren 145/37³ = 1 på 349.
Wizard of Odds besvarade varianterna av de här frågorna för hjulet med dubbelnollahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela →; våra siffror för det hjulet är 1 på 359 275, 1 på 9 243 och 1 på 368. Skillnaden mellan ”17” och ”något nummer” är födelsedagsproblemetmatematikFödelsedagsproblemetHur många personer som behövs innan två troligen har samma födelsedag, eller hur många snurr innan ett nummer troligen upprepas. På ett hjul med 37 fack räcker 8 snurr för en sannolikhet över hälften.Läs hela → igen: det finns 37 sätt att bli överraskad.
Komisk paus
Något upprepas tidigt. Det något är slumpmässigt.
Källor
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, frågor om roulette.