Sannolikheten för sviter
Långa serier av en och samma färg är vanliga. De säger också ingenting om nästa snurr.
Fem röda i rad: 2,7%. Tio: 0,074%. Under en session på 200 snurr förekommer en serie på sex av samma färg oftare än inte.
Hur ofta en förlustsvit kommer
En enkel chans på ett hjul med en nolla förlorar 19 snurr på 37. Varje rad visar sannolikheten att en given serie snurr alla förloras, och vad en Martingale-spelare, som dubblar efter varje förlust, då har förlorat.
| förluster i rad | sannolikhet | ungefär 1 på | förlorat hittills | nästa insats |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Sannolikheten är 19/37 multiplicerat med sig självt en gång per förlust, räknat från ett givet snurr. En lång session har många snurr där en sådan svit kan börja, så under en kväll är den betydligt mer sannolik än vad en enskild rad antyder.
En enskild svit
SannolikhetenmatematikSannolikhetMåttet på hur troligt ett utfall är, från 0 till 1 eller 0% till 100%. Ett nummer: 1/37 = 2,70%.Läs hela → att de nästa k snurren alla blir rödasatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → är (18/37)ᵏ. Två: 23,7%. Fem: 2,7%. Tio: 0,074%, ungefär 1 på 1 350. Tjugo: 1 på 1,8 miljoner. Tjugosex, rekordet från Monte Carlo: 1 på 137 miljoner. Det är oddsen för en bestämd svit som börjar vid ett bestämt snurr, vilket är frågan som nästan ingen faktiskt ställer.
Under en session
Frågan som folk menar är ”kommer en svit på k att dyka upp någonstans under min session?”, och svaret är mycket större än (18/37)ᵏ eftersom en session på 200 snurr ger nästan 200 ställen där en svit kan börja. En svit på sex eller fler av samma färg, rött eller svartsatsningSvartEnkel chans på de 18 svarta numren. Franska: noir.Läs hela →, dyker upp i en session på 200 snurr i cirka 94% av fallen; åtta eller fler i cirka 47%; tio eller fler i cirka 14%. Bestämmer du färgen i förväg sjunker sannolikheterna, till cirka 75%, 27% och 7%. En spelare som sitter en hel kväll får se långa sviter varje kväll.
Varför Martingale bryr sig
Varje negativ progressionstrategiProgressionVarje regel som ändrar insatsen utifrån tidigare resultat. Negativa progressioner höjer den efter förluster, positiva efter vinster.Läs hela → har en serielängd som knäcker den: sex förluster från basinsatsen $10 med gränsen $500, tio för FibonaccistrategiFibonacciProgression som följer talföljden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: ett steg framåt efter en förlust, två steg tillbaka efter en vinst.Läs hela →, fem för att tredubbla på dussinsatsningDussin1–12, 13–24 eller 25–36, betalar 2:1.Läs hela →. Sannolikheten för en förlustsvit på sex vid enkel chans är (19/37)⁶ ≈ 1,8% per försök, och en session på 200 snurr innehåller kanske 100 försök, så avbrottet kommer i ungefär fyra av fem sessioner av den längden. Sviternas sannolikheter är anledningen till att stupet inte är sällsynt.
Heta och kalla nummer
Samma räkneövning gäller straight up-satsningarsatsningStraight upEtt enda nummer, betalar 35:1.Läs hela →. På 300 snurr är det förväntade antalet per nummer 8,1; standardavvikelsenmatematikStandardavvikelseKvadratroten ur variansen; ett resultats typiska avstånd från väntevärdet.Läs hela → är cirka 2,8. Något nummer kommer att visa 15 träffar och något 2 av ren slump, varje gång. En resultattavla som markerar ”heta” nummer markerar toppen av en normalfördelning. Labbet förklarar hur många snurr det krävs innan ett hett nummermytHett nummerEtt nummer som på senare tid har kommit oftare än förväntat. På ett rättvist hjul förutsäger det ingenting.Läs hela → betyder något (tusentals, från ett identifierat hjul).
Oberoendet är hela poängen
En svit på tio röda gör inte svart mer sannolikt, och den gör inte heller rött mer sannolikt. Båda är 18/37. Sviter är en egenskap hos slumpmässiga följder och vore misstänkta om de saknades: en följd på 200 snurr utan någon svit längre än fyra vore ett mycket starkare belägg för manipulation än en med en svit på tolv.
Formel
Frågor
26 svarta i Monte Carlo den 18 augusti 1913 är den berömda. 32 röda i rad rapporterades vid ett amerikanskt kasino 1943. Båda är förenliga med slumpen med tanke på hur många snurr kasinon kör.
Det är 18/37 åt båda hållen. Satsa det din plan säger, eller ingenting.
Nej. Skevhet visar sig som att vissa fackutrustningFackEtt av de 37 numrerade facken på rotorn. Kallas även ficka, kopp.Läs hela → träffar oftare över tusentals snurr, inte som serier av en färg.
Matte för nöjes skull
Försök själv först. Varje lösning är hopfälld; öppna den när du är redo.
Hur många snurr på ett europeiskt hjul tar det i genomsnitt innan vart och ett av de 37 numren har kommit minst en gång?
Visa lösningen
Svar Omkring 155 snurr i genomsnitt; medianen är 147.
Räkna väntan ett nytt nummer i taget. Det första snurret visar alltid ett nytt nummer. När du har sett 1 nummer är 36 fackutrustningFackEtt av de 37 numrerade facken på rotorn. Kallas även ficka, kopp.Läs hela → av 37 nya, så nästa nya nummer tar i genomsnitt 37/36 snurr. När du har sett k nummer tar det 37/(37 − k).
Lägg ihop väntetiderna: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 snurr.
Det mesta av det är slutet. Bara det sista numret tar i genomsnitt 37 snurr, och de fem sista omkring 85. På ett amerikanskt hjul ger samma summa omkring 161. Det här är kupongsamlarproblemet; Wizard of Odds anger samma medelvärde.
Hur många olika nummer kan du vänta dig att se på 37 snurr på ett europeiskt hjul, ett snurr för varje fack?
Visa lösningen
Svar Omkring 23,6. Ungefär en tredjedel av numren, omkring 13, kommer inte alls.
Ta ett nummer, säg 17. I varje snurr uteblir det med sannolikheten 36/37, så det missar alla 37 snurren med sannolikheten (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Varje nummer har samma sannolikhet, så i genomsnitt saknas 37 × 0,363 ≈ 13,4 nummer och 37 − 13,4 ≈ 23,6 kommer, många av dem två gånger eller fler.
Roulettespelare kallar det här tredjedelslagen. Det är ingen lag, bara upprepningarnas aritmetik: i en följd lika lång som hjulet uteblir omkring en tredjedel av numren, på ett rättvist hjul som på vilket annat som helst. På 38 fack är andelen också (37/38)³⁸ ≈ 0,363; för ett stort hjul närmar den sig 1/e ≈ 0,368.
En vän visar dig två listor med 50 färger, röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → eller svartsatsningSvartEnkel chans på de 18 svarta numren. Franska: noir.Läs hela →, som båda sägs komma från ett hjul där nollornahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela → har tagits bort. Den ena byter färg 25 gånger och dess längsta svit är sex. Den andra byter 35 gånger och går aldrig längre än tre i rad. Vilken är påhittad?
Visa lösningen
Svar Den andra. En riktig lista byter cirka 24 eller 25 gånger. En med 35 byten dyker upp ungefär en gång på 500 listor, och en utan svit längre än tre ungefär två gånger på 100.
Varje ny färg upprepar antingen den förra eller byter, hälften var, så 49 tillfällen att byta ger i genomsnitt 24,5 byten, plus minus cirka 3,5. Trettiofem ligger tre sådana steg över genomsnittet; ett rättvist hjul ger så många byten ungefär en gång på 500 listor.
Sviterna berättar samma sak. En riktig lista på 50 har en svit på fyra eller fler i cirka 98% av fallen, och dess längsta svit är oftast fem eller sex.
Människor som ombeds hitta på en slumpmässig lista byter för ofta, eftersom en svit på fyra eller fem ser ut som ett mönster för dem. Taylor (2021) visar samma kännetecken i listor över slantsinglingar som studenter har hittat på: verklig slump har fler sviter än folk tror.
En bok med kasinohistorier berättar om en spelare vars nummer kom fem gånger i rad och kallar det ett rekord. Hur sällsynt är det på ett europeiskt hjul? Och hur ofta borde det hända någonstans på ett kasino med 20 bord, där varje bord snurrar 40 gånger i timmen, dag och natt?
Visa lösningen
Svar Ett utpekat nummer fem gånger i rad: 1 på 69 miljoner. Att vilket nummer som helst kommer fyra gånger till efter att det först har kommit: 1 på 1,87 miljoner. Det kasinot snurrar omkring 7 miljoner gånger om året, så det borde se en svit på fem tre eller fyra gånger om året.
Ett utpekat nummer kommer med sannolikheten 1/37 varje snurr, så fem i rad har sannolikheten (1/37)⁵ = 1 på 69 343 957. Men ingen pekar ut numret i förväg. Vad som än kommer först måste de fyra följande snurren upprepa det: (1/37)⁴ = 1 på 1 874 161.
20 bord × 40 snurr × 24 timmar × 365 dagar = 7 008 000 snurr om året. Varje snurr kan inleda en svit, så kasinot kan vänta sig 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 sviter på fem om året.
Något officiellt rekord av det här slaget finns inte, och inget behövs: en sällsynt händelse vid ett bord är en vardaglig händelse över ett helt kasino, och historierna berättas om bordet där det hände. Historien, i Goldman (2007), utspelar sig vid ett hjul med dubbelnolla, där siffrorna är 1 på 79 miljoner och 1 på 2,09 miljoner.
Komisk paus
Långa sviter är så slump ser ut.
Källor
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.