Standardavvikelse
Kvadratroten ur variansmatematikVariansEtt mått på hur brett resultaten sprider sig kring väntevärdet. Hög för straight up, låg för enkla chanser.Läs hela →: det typiska avståndet mellan ett resultat och dess väntevärde.
Per satsad $1 är σ 5,84 för en straight up och 1,00 för rött. Multiplicera med insatsen och med kvadratroten ur antalet snurr för en session.
Tumregel
Ungefär två tredjedelar av sessionerna hamnar inom en σ från väntevärdet och 95% inom två. För 100 snurr på röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → med $10 (förväntat −$27, σ = $100) hamnar de flesta sessioner mellan −$127 och +$73, och nästan alla mellan −$227 och +$173. Ett resultat utanför det spannet är inte belägg för något annat än att en session av tjugo gör det.
Varför √N
Förväntad förlustmatematikFörväntad förlustVäntevärdet gånger det totala satsade beloppet; det belopp som i genomsnitt förloras under en session eller en period.Läs hela → växer i proportion till N; spridningen växer i proportion till √N. För litet N dominerar spridningen och sessioner är slantsinglingar med en liten lutning. För stort N springer förlusten ifrån spridningen. Skärningspunkten, där den förväntade förlusten är lika med en standardavvikelsematematikStandardavvikelseKvadratroten ur variansen; ett resultats typiska avstånd från väntevärdet.Läs hela →, ligger vid N = (σ/fördel)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 snurr för enkel chans och (5,84/0,027)² ≈ 46 800 för straight up-satsningarsatsningStraight upEtt enda nummer, betalar 35:1.Läs hela →. Under de talen avgör turen; över dem avgör fördelen.
Att använda den
För att bedöma om en session var ovanlig, räkna ut (resultat − EV)/σ. En spelare med $10 på rött som avslutar 100 snurr på +$150 ligger på (150 + 27)/100 = 1,77σ, ett utfall på ett av 25: tur, inget anmärkningsvärt. En spelare som satsar straight up och har samma +$150 ligger på 0,3σ: en vanlig kväll. Samma dollarresultat betyder olika saker för olika satsningar.
Standardfel för en andel
Samma räkning talar om hur många snurr det krävs för att se fördelen i data. Standardfelet för en observerad vinstandel är √(p(1 − p)/N). För rött med N = 1 000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Skillnaden mellan en rättvis slant och rött är 1,35%, så efter 1 000 snurr kan du fortfarande inte skilja dem åt med säkerhet. Efter 10 000 är standardfelet 0,5% och då kan du det. Det är också därför det krävs så många snurr för att upptäcka skevhet i ett hjul.
En varning om snedfördelning
Resultat för straight up är långt ifrån normalfördelade under en kort session: de flesta sessioner är en stadig −$10 per snurr med enstaka hopp på +$350. Regeln ±1σ beskriver spridningen rätt men formen dåligt tills N är i hundratal. För enkla chansersatsningEnkel chansRött/svart, udda/jämnt, högt/lågt. 18 nummer, betalar 1:1.Läs hela → är normalapproximationen bra från cirka 30 snurr.
Formel
Frågor
Den är bevis för att du spelade cirka 40 sessioner, eller var med i den lyckliga av fyrtio. Upprepa den.
Det svänger mindre och mindre: standardfelet för genomsnittet är σ/√N. Vid N = 10 000 är det 1% av insatsen.
Matte för nöjes skull
Försök själv först. Varje lösning är hopfälld; öppna den när du är redo.
Under 100 snurr på ett europeiskt hjul ligger en enhetpengarEnhetDen grundinsats som ett system eller en spelare räknar i. Progressioner beskrivs i enheter så att de gäller vid vilket bord som helst.Läs hela → på röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → plus med minst 51 vinster, och en enhet på en straight upsatsningStraight upEtt enda nummer, betalar 35:1.Läs hela → ligger plus om numret kommer minst 3 gånger. Uppskatta båda sannolikheterna med klockkurvan och jämför dem sedan med de exakta svaren.
Visa lösningen
Svar Rött: klockkurvan ger 35,6% och det exakta svaret är 35,5%. Straight up: klockkurvan ger 55,0% och det exakta svaret är 50,9%. Genvägen fungerar för rött och slår fel för det enskilda numret.
Rött: vinsterna är i genomsnitt 100 × 18/37 = 48,6, med en spridning på √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Plus betyder 51 eller fler; mittpunkten 50,5 ligger 0,37 spridningar över genomsnittet, och klockkurvan lägger 35,6% ovanför den. Summan av de exakta sannolikheterna för 51, 52 … 100 vinster blir 35,5%.
Straight up: träffarna är i genomsnitt 100/37 = 2,70, med en spridning på √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tre träffar eller fler betyder över 2,5, 0,12 spridningar under genomsnittet: 55,0% enligt klockkurvan. Exakt är det 1 minus sannolikheterna för 0, 1 och 2 träffar, 6,5% + 17,9% + 24,7%, vilket lämnar 50,9%.
Klockkurvan behöver gott om resultat på båda sidor om genomsnittet. Rött har det efter 100 snurr; ett nummer som i genomsnitt kommer färre än tre gånger har det inte. Kurvan ger till och med 8,7% åt ”ingen träff”, där den verkliga sannolikheten är 6,5%. Taylor (2021) ställer binomialfördelningen och klockkurvan bredvid varandra på samma sätt.
Komisk paus
En session av tjugo ligger utanför två sigma. Någon är alltid i svansen.
Källor
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.