Ruinrisk
Sannolikheten att förlora hela spelkassan innan du når ett mål.
För enkla chanser följer ruinrisken ruinformeln. Med en spelkassa på $500, satsningar på $10 och ett mål på $600 når du målet cirka 57% av gångerna och förlorar hela spelkassan resten av gångerna.
Frågan
Du har a enheterpengarEnhetDen grundinsats som ett system eller en spelare räknar i. Progressioner beskrivs i enheter så att de gäller vid vilket bord som helst.Läs hela → i spelkassapengarSpelkassaDet totala belopp som är avsatt för spel. Hantering av spelkassan är att bestämma hur mycket av den du riskerar per satsning och per session.Läs hela → och vill nå a + b enheter, och satsar en enhet i taget på en enkel chanssatsningEnkel chansRött/svart, udda/jämnt, högt/lågt. 18 nummer, betalar 1:1.Läs hela → med sannolikhetenmatematikSannolikhetMåttet på hur troligt ett utfall är, från 0 till 1 eller 0% till 100%. Ett nummer: 1/37 = 2,70%.Läs hela → p = 18/37 att vinna och sannolikheten q = 19/37 att förlora. Hur stor är sannolikheten att du når målet innan du når noll? Svaret räknades fram av Pascal, Fermat och Huygens på 1650-talet och är ett av sannolikhetsteorins äldsta resultat.
Formeln för ruinproblemet
P(nå målet) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). RuinriskenmatematikRuinriskSannolikheten att förlora hela spelkassan innan du når ett mål eller ett visst antal snurr.Läs hela → är ett minus det. Med q/p = 19/18 ≈ 1,0556 växer kvoten exponentiellt i antalet enheter, så formeln straffar små enheter hårt: ju fler satsningar det krävs för att nå målet, desto fler gånger betalas tullen på 2,70% på vägen.
Att läsa den
Mindre enheter skadar. Att försöka dubbla $500 med satsningar på $10 lyckas 6% av gångerna; med en enda satsning på $500 lyckas det 48,6% av gångerna. Djärvt spel, färre och större satsningar, maximerar sannolikheten att nå ett mål i ett spel med negativt väntevärde, eftersom det minimerar antalet gånger fördelen tillämpas. Det maximerar också variansenmatematikVariansEtt mått på hur brett resultaten sprider sig kring väntevärdet. Hög för straight up, låg för enkla chanser.Läs hela → i det som händer dig, och det avslutar kvällen fort. Satsen kallas ”djärvt spel är optimalt” och bevisades av Dubins och Savage 1965.
Där problemet började
Frågan är äldre än rouletten. År 1656 gav Pascal Fermat en gåta: två spelare kastar tre tärningar och börjar med 12 brickor var; ett kast på 11 flyttar en bricka åt ena hållet, ett kast på 14 åt det andra. Båda löste den, och Huygens, som hörde talas om den genom ett brev från matematikern Pierre de Carcavi, gav ut den i tryck 1657 som det femte problemet i den första boken om sannolikhet, med svaret och utan bevis. Elva kan kastas på 27 sätt och fjorton bara på 15, så varje bricka flyttas åt den första spelarens håll 9 gånger på 14, och formeln ovan, med 12 brickor var, gör det ungefär 1 157 gånger mer sannolikt att han vinner allt än att han förlorar allt. En fördel på 2,70% är mycket mindre, men samma formel visar vad den gör över många satsningar.
En djärv satsning på riktigt
I april 2004 sålde Ashley Revell, en ung engelsman, nästan allt han ägde, även kläderna, och tog med sig $135 300 till Plaza i Las Vegas. Efter några små satsningar satte han hela beloppet på röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela →, en gång. KulanutrustningKulaDen lilla kula som skickas i väg längs banan mot rotorns riktning. Moderna kulor är av ivorine eller teflon, 18–21 mm.Läs hela → landade på röd 7 och han gick därifrån med $270 600. På ett hjul med dubbelnollahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela → hade det enda snurret en sannolikhet på 47,37% och kostade honom i genomsnitt $7 121, fördelen på 5,26% på en satsning. Utspritt på satsningar om $10 hade samma mål varit nästan hopplöst. Djärvt spel gör inte satsningen bra; det gör den så kort som möjligt.
Ruinrisk utan mål
Om du helt enkelt spelar tills du förlorar hela spelkassan eller slutar efter N snurr blir frågan ”hur stor är sannolikheten att min spelkassa når noll inom N snurr?”. Det finns ingen sluten form för allmänt N, men simulatorerna på den här webbplatsen räknar ut den: en spelkassa på $500 med $10 på rött förlorar nästan aldrig allt på 100 snurr (under 1%), förlorar allt cirka 9% av gångerna på 500 snurr och cirka 95% av gångerna på 5 000. Utan stoppregel går sannolikheten mot 100%, vilket är den långsiktiga versionen av husets fördelmatematikHusets fördelDen andel av varje insats som kasinot i genomsnitt behåller: 2,70% i europeisk roulette.Läs hela →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- median −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Hur länge, och hur långt i vinst
Två andra klassiska resultat besvarar frågor som spelare faktiskt ställer. Utan mål räcker satsningar med fast insats på enkla chanser i genomsnitt 37 snurr per enhet i spelkassan på ett europeiskt hjul och 19 på ett amerikanskt, eftersom varje snurr i genomsnitt tar 1/37 av en enhet (1/19 på ett amerikanskt hjul): 100 enheter räcker i genomsnitt 3 700 snurr, även om hälften av sådana sessioner är över inom 3 134 (se Sessionens längd och kostnad). Och hur stor spelkassan än är, är sannolikheten på ett europeiskt hjul att någon gång ligga k enheter över start (18/19)ᵏ. Det är 95% för en enhet och 58% för tio, men ingen spelkassa, hur djup den än är, ger en sannolikhet på minst hälften att någon gång ligga 13 enheter över start; på ett amerikanskt hjul är sannolikheten (9/10)ᵏ och sjunker under hälften vid 7 enheter.
En spelkassa för femtio procents chans
Vänd på frågan: hur mycket måste du ta med dig för att ha minst lika stor sannolikhet att vinna ett visst belopp som att förlora allt först? För en liten vinst inte mycket. För en större klättrar den spelkassa som behövs brant, och efter en viss punkt räcker ingen spelkassa, eftersom även en oändlig ger mindre än hälftens sannolikhet att någonsin komma så långt över start. Taylor (2021) uttrycker det på ett annat sätt: på ett amerikanskt hjul måste du börja med 94 enheter för att ha hälftens sannolikhet att nå 100, och riskerar alltså 94 för att vinna 6. På ett europeiskt hjul skulle du behöva 88.
Den praktiska lärdomen
Bestäm vad du försöker göra. Om målet är en bestämd vinst, satsa stort och sällan. Om målet är en lång kväll, satsa smått och acceptera att fördelen tar sina 2,70% av en stor omsättningpengarOmsättningDet totala belopp som satsats under en session eller period, inklusive vinster som satsats på nytt. Kallas även handle, action.Läs hela →. Om målet är båda måste något ge sig, och det är oftast målet.
Formel
Frågor
MartingalestrategiMartingaleProgression som dubblar insatsen efter varje förlust. Se avdelningen Strategi för vad den gör och inte gör.Läs hela → sänker den för korta sessioner och höjer den dramatiskt för långa. Fast insatsstrategiFast insatsAtt satsa samma belopp varje snurr. Jämförelsenormen för varje progression.Läs hela → med en större enhet är det ärliga sättet att sänka den.
Formeln ovan gäller enkel chans. För satsningar med hög varians är ruin mer sannolik vid små insatser och målet nås ojämnare; använd kalkylatorn.
Varje steg mot målet är lite mindre sannolikt än varje steg mot ruin; kvoten ackumuleras över antalet steg.
Matte för nöjes skull
Försök själv först. Varje lösning är hopfälld; öppna den när du är redo.
Du har $100 och vill ha $1 000, och satsar bara på röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela →. Plan ett: satsa $1 i taget. Plan två: satsa allt du har tills du passerar $500, sedan precis så mycket som behövs för att nå $1 000. Vilken plan är bättre, och med hur mycket?
Visa lösningen
Svar Plan två, med bred marginal. Den når $1 000 i cirka 9,0% av fallen, nära de rättvisa 10%. Plan ett lyckas ungefär 7 gånger på 10²².
I ett rättvist spelmatematikRättvist spelEtt spel där ingen sida har en fördel: varje satsning har väntevärdet noll.Läs hela → skulle du nå $1 000 från $100 en gång på tio vad du än gjorde, eftersom det genomsnittliga värdet av dina pengar stannar på $100.
Husets fördel tar 2,70% av varje satsning, så ju mindre du satsar totalt, desto närmare en på tio stannar du. Plan två avgör saken på en handfull satsningar: $100 blir $200, $400, $800, och sedan räcker $200. Den lyckas i cirka 9,0% av fallen. Plan ett tar tusentals satsningar innan vandringen tar slut, och husets fördel, liten på var och en, summeras till nästan säker ruin.
Detta är Dubins och Savages resultat i sin enklaste form (Epstein, 2013): i ett spel som gynnar huset ska du satsa så mycket du behöver, så få gånger du kan.
Du har $500 och vill ha $1 000, och slutar så fort du har det. Du väljer en sorts satsning och upprepar den tills den vinner en gång eller pengarna tar slut. Vilken sort ger störst sannolikhet?
Visa lösningen
Svar En satsning på $500 på rött: 48,6%. Varje plan som sprider pengarna på mindre satsningar klarar sig sämre.
Välj varje insats så att en vinst räcker: $30 på en straight upsatsningStraight upEtt enda nummer, betalar 35:1.Läs hela → (ett helt nummer) vinner $1 050, $60 på en splitsatsningSplitTvå angränsande nummer, betalar 17:1.Läs hela → (två nummer) vinner $1 020, och så vidare. Räkna sedan sannolikheten att minst en satsning vinner innan pengarna tar slut. Sexton straight up på $30 missar alla med sannolikheten (36/37)¹⁶ = 64,5%, så de når $1 000 i 35,5% av fallen.
Tabellen visar varje satsning. Rött klarar sig bäst eftersom det kommer dit på en satsning, så husets fördel betalas en gång, på $500. Six linesatsningSix lineSex nummer i två angränsande rader, betalar 5:1. Franska: sixain.Läs hela → kommer tvåa eftersom den bara behöver tre. En enda satsning på ett dussinsatsningDussin1–12, 13–24 eller 25–36, betalar 2:1.Läs hela → är sämst, med sannolikheten 12/37; även spelat med enheterpengarEnhetDen grundinsats som ett system eller en spelare räknar i. Progressioner beskrivs i enheter så att de gäller vid vilket bord som helst.Läs hela → på $250 tills du har $1 000 eller mer når dussinet dit bara i 46,4% av fallen.
Bollman (2024) bygger samma tabell för ett amerikanskt hjul. Hans dussinrad har ett fel: den borde visa 12/38 = 31,6%.
satsninginsats × antal satsningarsannolikhet att nå $1 000Straight up$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Street$90 × 534,5%Corner$125 × 436,7%Six line$166, $166, $16841,2%Dussin$500 × 132,4%Rött$500 × 148,6%Du satsar en enhet på rött, snurr efter snurr, med en spelkassapengarSpelkassaDet totala belopp som är avsatt för spel. Hantering av spelkassan är att bestämma hur mycket av den du riskerar per satsning och per session.Läs hela → som aldrig tar slut. Efter första snurret ligger du en enhet över eller en enhet under. Hur stor är sannolikheten att du någon gång igen ligger exakt jämnt?
Visa lösningen
Svar 36 på 37, 97,3%. På ett amerikanskt hjul är den 36 på 38, 94,7%.
Om första snurret vinner (18 gånger på 37) ligger du en enhet över, och husets fördel drar ned varje oändlig session, så förr eller senare passerar du jämnt igen: det är säkert. Om det förlorar (19 gånger på 37) måste du klättra en enhet, och sannolikheten att någon gång ligga en enhet över är 18/19 (se tabellen ovan).
Tillsammans: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Allmänt är sannolikheten 1 minus skillnaden mellan sannolikheterna att vinna och att förlora ett snurr: 1 − 1/37 på ett europeiskt hjul, 1 − 2/38 på ett amerikanskt. I ett spel utan nollahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela → är skillnaden ingenting och sannolikheten 1: ställningen kommer alltid tillbaka till jämnt. Epstein (2013) ger den allmänna regeln.
Pascals gåta från 1656: två spelare kastar tre tärningar och börjar med 12 brickor var. Varje 11 flyttar en bricka till den första spelaren, varje 14 flyttar en till den andra; andra kast räknas inte. Hur sannolikt är det att den första spelaren vinner alla 24? Och om du i stället satsar 1 enhet på rött varje snurr mot en vän som är bank, med 12 enheter var, hur sannolikt är det att du vinner alla 24?
Visa lösningen
Svar Den första spelaren vinner ungefär 1 157 gånger på 1 158. Du, på rött, vinner alla 24 enheter bara ungefär 34% av gångerna.
Tre tärningar ger 11 på 27 sätt och 14 på 15 sätt, så varje bricka som flyttas går till den första spelaren 27 gånger på 42, 9 gånger på 14. När båda sidor börjar med 12 är sannolikheten att ta allt 1/(1 + r¹²), där r är kvoten mellan den andra sidans sannolikhet och din.
För den första spelaren är r = 5/9, och (5/9)¹² ≈ 0,00086, så sannolikheten är ungefär 0,99914: odds på 9¹² mot 5¹², eller 282 429 536 481 mot 244 140 625, ungefär 1 157 mot 1. Huygens tryckte exakt de talen 1657.
På rött är r = 19/18 på grund av nollan, och (19/18)¹² ≈ 1,913: din sannolikhet är 1/2,913 ≈ 34,3%. Ett mynt skulle ge 50%. Fördelen på 2,70% på varje satsning blir, över de många satsningar som krävs, en skillnad på 16 procentenheter.
Komisk paus
Djärvt spel är optimalt. Det är också snart över.
Källor
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Brev till Huygens, 28 september 1656, om problemet som Pascal ställde till Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”