Kellykriteriet och roulette

Kriteriet

John Kelly (1956) frågade hur en spelare med en känd fördel bör dimensionera sina satsningar för att maximera den långsiktiga tillväxten av spelkassanpengarSpelkassaDet totala belopp som är avsatt för spel. Hantering av spelkassan är att bestämma hur mycket av den du riskerar per satsning och per session.Läs hela →. Svaret, för en satsning som betalar b mot 1 med sannolikhetenmatematikSannolikhetMåttet på hur troligt ett utfall är, från 0 till 1 eller 0% till 100%. Ett nummer: 1/37 = 2,70%.Läs hela → p för vinst och sannolikheten q = 1 − p för förlust, är att satsa andelen f* = (bp − q) / b av spelkassan. Positivt f* betyder att du satsar den andelen; noll eller negativt betyder att du inte ska satsa. Kelly arbetade vid Bell Labs, och hans artikel, ”A new interpretation of information rate”, placerade problemet i Claude Shannons informationsteori: en spelare som får tips över en brusig linje, till rättvisa odds, kan i bästa fall låta spelkassan växa i den takt som linjen överför information. År 1961 bevisade Leo Breiman att Kellysatsning i längden hamnar före varje väsentligt annorlunda strategi och når ett givet mål på ungefär kortast möjliga tid.

Tillämpat på roulette

För röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. För en straight upsatsningStraight upEtt enda nummer, betalar 35:1.Läs hela →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Varje vanlig satsning ger en negativ Kelly-andel, eftersom varje satsning har negativ fördel, och den tillväxtoptimala insatsen är noll. Kelly är ett formellt sätt att säga det som sidan om husets fördel säger: det finns ingen storlek vid vilken en satsning med negativt väntevärde får en spelkassa att växa.

Där Kelly gällde

Spelare som utnyttjade skevhet hade en fördel och ett dimensioneringsproblem. Jagger, familjen García-Pelayo och Eudaemons fick alla avgöra hur mycket de skulle satsa på sin uppmätta fördel, och för små satsningar slösar bort fördelen medan för stora riskerar ruin innan fördelen syns. För ett fackutrustningFackEtt av de 37 numrerade facken på rotorn. Kallas även ficka, kopp.Läs hela → som träffar 1 gång på 30 säger Kelly 0,57% av spelkassan per snurr på det numret: med $10 000 cirka $57 per snurr, för en typisk tillväxt på cirka 0,054% per snurr, eller ×1,7 över 1 000 snurr. Den genomsnittliga vinsten är dubbelt så stor, 0,11% per snurr, men Kelly siktar på den typiska spelkassan, inte den genomsnittliga, som några turliga sviter blåser upp. Halv Kelly är det vanliga praktiska valet eftersom uppskattningen av fördelen är osäker.

Berömda roulettespelareEudaemons

Typiskt och genomsnittligt

Skillnaden mellan den typiska spelkassan och den genomsnittliga är stor. Ta ett fack som träffar 1 gång på 25, en fördel på 44%, den siffra Thorp anger för sin apparat. Kelly satsar 1,26% av spelkassan på det. Efter 1 000 snurr har den typiska spelkassan vuxit ungefär 11,5 gånger, medan genomsnittet, uppdraget av några få mycket lyckosamma förlopp, har vuxit ungefär 249 gånger. Att satsa mer än Kelly höjer genomsnittet och sänker det typiska resultatet: med dubbla Kelly-insatsen blir den typiska spelkassan bara dubbelt så stor, och vid två och en halv gånger Kelly-insatsen krymper den, trots att varje satsning fortfarande har en fördel på 44%. Att satsa mindre kostar lite: halva insatsen behåller ungefär tre fjärdedelar av tillväxten.

När fördelen är en gissning

Kelly förutsätter att fördelen är känd. Vid bordet är den uppskattad, och uppskattningen är oftast för hög. Epsteins exempel, byggt på Thorps 44%, är ett nummer som kom 49 gånger på 1 225 snurr på ett hjul med dubbelnollahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela →: 1 gång på 25, en fördel på 44% och en Kellyinsats på 1,26%. Men ett rättvist hjul med dubbelnolla har 38 nummer, och det vanligaste av dem kommer 49 gånger eller fler på 1 225 snurr ungefär en gång av nio. Det vanligaste numret i en serie är också det som turen har hjälpt mest, så även ett verkligt skevt fack ser bättre ut i serien än det är: vinnarens förbannelse. Om facket i själva verket är rättvist är Kellyinsatsen helt enkelt en satsning som i genomsnitt förlorar 5,26%. De vanliga svaren är att satsa en bråkdel av Kelly och att fortsätta räkna tills fördelen håller i en ny serie (se Så upptäcker du skevhet i hjulet).

Människor med en fördel

Att känna till fördelen är inte detsamma som att använda den väl. Haghani och Dewey (2016) gav 61 personer $25 var att satsa under en halvtimme på ett mynt som de fick veta visade krona 60% av gångerna, med vinsterna begränsade till $250 (spelarna fick veta om taket först när de nådde det). Kelly säger att du ska satsa 20% av spelkassan på krona varje gång, och författarna uppskattar att jämna satsningar på 10–20% skulle nå taket ungefär 95% av gångerna. Bara 21% av spelarna kom dit. 28% gick bankrutt, 18 av de 61 satsade allt på ett enda kast, ungefär en tredjedel slutade under de $25 de började med, och den genomsnittliga utbetalningenpengarUtbetalningVad en vinnande satsning ger tillbaka, angivet som ”X mot 1” utöver den återbetalda insatsen.Läs hela → var $91. Bara fem av de 61 hade hört talas om Kellykriteriet. Med en fördel avgör satsningarnas storlek om du behåller den; utan fördel, som vid ett rättvist hjul, hjälper ingen storlek.

Vad du använder i stället

Utan fördel är dimensionering en budgetfråga, inte en tillväxtfråga: insats = det du är beredd att lägga per snurr, härlett ur timbudgeten och bordets tempo (sidan om hantering av spelkassan). Kellys bidrag till den vanliga spelaren är tydligheten i svaret: noll. Allt du satsar över noll är priset för att spela, valt av dig och inte optimerat av någon formel.

En not om bråkdels-Kelly och ”money management”

System som säljs som ”Kelly för roulette” och rekommenderar en fast procentandel av spelkassan per satsning är spel med fast insatsstrategiFast insatsAtt satsa samma belopp varje snurr. Jämförelsenormen för varje progression.Läs hela → med en insats som krymper. De förlorar 2,70% av omsättningenpengarOmsättningDet totala belopp som satsats under en session eller period, inklusive vinster som satsats på nytt. Kallas även handle, action.Läs hela → och, eftersom insatsen krymper när du förlorar, gör de ruinen långsam snarare än osannolik. Det är ett rimligt sätt att få en budget att räcka; det är inte Kelly, som skulle säga att du ska sluta.

Fast insats

Formel

Frågor