Problem: bordsgränsen
En Martingale med $10 vid ett bord med gränsen $500. Hur ofta brister den, hur mycket förlorar den när det händer, och hjälper det att höja gränsen?
Sex förluster i rad får den att brista: 1,8% per cykel, cirka 60% av sessioner på 100 snurr. Bristningen kostar $630. Om gränsen höjs till $5 000 blir bristningen sällsyntare (0,25% per cykel) och större ($5 110). Den förväntade förlusten per satsad dollar är 2,70% vid vilken gräns som helst.
Problemet
En spelare satsar $10 på röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → och dubblar efter varje förlust, och börjar om efter en vinst. Bordets högsta insats är $500. (a) Hur många förluster i rad får progressionenstrategiProgressionVarje regel som ändrar insatsen utifrån tidigare resultat. Negativa progressioner höjer den efter förluster, positiva efter vinster.Läs hela → att brista? (b) Hur stor är sannolikhetenmatematikSannolikhetMåttet på hur troligt ett utfall är, från 0 till 1 eller 0% till 100%. Ett nummer: 1/37 = 2,70%.Läs hela → per cykel? (c) Vad förloras vid bristningen? (d) Hur ändras svaren med en gräns på $5 000? (e) Gör någon gräns systemet lönsamt?
Lösningar (a)–(c)
Insatser: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Den sjunde skulle bli 640 > 500, så sex förluster får den att brista. (b) p(förlust) = 19/37 på rött; (19/37)⁶ = 0,0183, cirka 1,8% per cykel. En cykel varar i genomsnitt cirka två snurr, så en session på 100 snurr har ungefär 50 cykler och p(minst en bristning) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, vilket är 63 basinsatser (enheterpengarEnhetDen grundinsats som ett system eller en spelare räknar i. Progressioner beskrivs i enheter så att de gäller vid vilket bord som helst.Läs hela →), mot de $10 som cykeln försökte vinna.
Lösning (d)
Vid $5 000: insatser upp till 2 560 är tillåtna; den tionde insatsen, 5 120, nekas. Nio förluster får den att brista: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per cykel, cirka 11% av sessioner på 100 snurr. Förlust vid bristningen: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Spelaren har köpt en sällsyntare katastrof till priset av en större. Över många sessioner är den förväntade kostnaden för bristningar p × förlust ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per cykel vid gränsen $500 och 0,0025 × 5 110 = $12,8 vid $5 000; det är, inom avrundning, samma tal, och det är cykelns förväntade förlustmatematikFörväntad förlustVäntevärdet gånger det totala satsade beloppet; det belopp som i genomsnitt förloras under en session eller en period.Läs hela → minus de $10 som de vinnande cyklerna ger.
Lösning (e)
Nej. Förväntad förlust per cykel = (förväntad total insats i cykeln) / 37, vid vilken gräns som helst, eftersom varje satsning är −1/37 av sig själv. Gränsen avgör bara hur förlusten fördelas mellan många små vinster och få stora förluster. Utan gräns och med oändlig spelkassapengarSpelkassaDet totala belopp som är avsatt för spel. Hantering av spelkassan är att bestämma hur mycket av den du riskerar per satsning och per session.Läs hela → skulle progressionen ”fungera” i den meningen att den aldrig brister, och den skulle också satsa ett obegränsat belopp med förväntad förlust på 2,70% av det obegränsade beloppet. BordsgränsenbordBordsgränsLägsta och högsta tillåtna insats. Den högsta är det som stoppar dubblingsprogressioner.Läs hela → är inte det som hindrar MartingalestrategiMartingaleProgression som dubblar insatsen efter varje förlust. Se avdelningen Strategi för vad den gör och inte gör.Läs hela → från att fungera. Räkningen är det.
Två verkliga bord
Thorps exempel är ett bord med $1 som lägsta och $1 000 som högsta insats, där en spelare hoppas vinna $30 till middagen en dollar i taget. Insatserna 1, 2, 4 … 512 ger tio satsningar, så tio förluster i rad får progressionen att brista: en gång på 785 cykler på ett europeiskt hjul (en gång på 613 på ett amerikanskt), till en kostnad av $1 023. Alla trettio cyklerna lyckas 96,2% av gångerna. De övriga 3,8% förlorar cirka $1 000, och kvällens genomsnittliga resultat är −$9,17, vilket är exakt 1/37 av de $339 som de trettio cyklerna i genomsnitt satsar. Ett bord med $5 som lägsta och $2 000 som högsta insats är inte annorlunda: insatser upp till $1 280 ger nio satsningar, och bristningen kommer en gång på 403 cykler på ett europeiskt hjul (en gång på 323 på ett amerikanskt) och kostar $2 555.
En rik spelare
Ge progressionen en djup spelkassa i stället för en låg gräns: 1 000 enheter, en grundinsats på en enhet och 1 000 snurr på rött, och börja om på en enhet så fort nästa fördubbling är större än det som finns kvar. Vi simulerade en miljon sådana kvällar. På ett europeiskt hjul slutar 52% med vinst, 21% förlorar allt och det genomsnittliga resultatet är −124 enheter. Även i ett spel utan nollahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela →, där varje satsning är rättvis, skulle bara cirka 60% sluta med vinst. Den vanliga kvällen ger en liten vinst; genomsnittet betalas av de kvällar som slutar på noll.
Lärdomen
Kasinon sätter gränser för att begränsa sin egen variansmatematikVariansEtt mått på hur brett resultaten sprider sig kring väntevärdet. Hög för straight up, låg för enkla chanser.Läs hela →, inte för att slå ut system. Att slå ut Martingale är en bieffekt som de gärna tar emot, och räkningen skulle slå ut den ändå. En spelare som tror att gränsen är problemet har hittat stupet och tagit det för sluttningen.
Formel
Frågor
Den låter dig överleva till en högre gräns, där bristningen är sällsyntare och större. Den förväntade förlusten per dollar är oförändrad.
Insatser 10, 30, 70, 150, 310: gränsen på $500 nås efter fem förluster, och bristningen kostar $570. Samma 2,70%.
Så att en enskild spelare inte kan satsa mer än vad kasinots reserv bekvämt kan betala. Hantering av varians.
Matte för nöjes skull
Försök själv först. Varje lösning är hopfälld; öppna den när du är redo.
En MartingalestrategiMartingaleProgression som dubblar insatsen efter varje förlust. Se avdelningen Strategi för vad den gör och inte gör.Läs hela → börjar på $100 på röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → och tillåter sig högst n satsningar per cykel: efter n förluster i rad ger den upp och börjar om. Skriv det genomsnittliga resultatet av en cykel som en formel i n, och räkna ut det för 5, 6 och 7 satsningar på ett europeiskt hjul.
Visa lösningen
Svar Genomsnittet är 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 för 5 satsningar, −$17,35 för 6 och −$20,52 för 7. Att tillåta fler satsningar gör den genomsnittliga cykeln sämre, inte bättre.
En cykel vinner $100 om inte alla n satsningar förlorar, vilket sker med sannolikheten qⁿ, där q = 19/37. När alla förlorar blir insatserna 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ sammanlagt 100 × (2ⁿ − 1). Genomsnittet är alltså 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Här är 2q = 38/37, lite mer än 1, så (2q)ⁿ växer med n och genomsnittet sjunker: n = 5 ger 1,1426 och −$14,26; n = 6 ger 1,1735 och −$17,35; n = 7 ger 1,2052 och −$20,52. En längre stege förlorar mer sällan, i 3,6%, 1,8% och 0,9% av cyklerna, men varje förlust är dubbelt så stor, och mer pengar passerar bordet varje cykel, med 2,70% av varje satsning.
På ett amerikanskt hjul är 2q = 40/38 och siffrorna −$29,24, −$36,04 och −$43,20 (Taylor, 2021). I ett spel utan nollahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela → är 2q = 1, och varje cykel ger i genomsnitt exakt noll, hur lång stegen än är.
Den ”grand Martingale” fördubblar insatsen efter en förlust och lägger till en enhetpengarEnhetDen grundinsats som ett system eller en spelare räknar i. Progressioner beskrivs i enheter så att de gäller vid vilket bord som helst.Läs hela →, så insatserna blir 1, 3, 7, 15, 31 … Hur mycket ligger du plus när den första vinsten kommer på 1:a, 2:a, 3:e eller k:te satsningen? Med en enhet på $10 och högsta insats $500, hur ofta brister en cykel, och vad kostar en cykel i genomsnitt?
Visa lösningen
Svar En vinst på k:te satsningen ger dig k enheter plus: +1, +2, +3 och så vidare. Med $10 och $500 brister cykeln efter fem förluster, i 3,57% av cyklerna, med −$570. I genomsnitt förlorar en cykel $2,32 av $85,73 i insatser: 2,70%.
Den k:te insatsen är 2ᵏ − 1 enheter: 1, 3, 7, 15, 31. De första k − 1 insatserna blir sammanlagt 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. En vinst på k:te satsningen betalar 2ᵏ − 1, så cykeln slutar (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k enheter plus: en extra enhet för varje förlust före vinsten.
Med $10 per enhet är insatserna $10, $30, $70, $150 och $310; nästa, $630, ligger över högsta insatsen $500. Fem förluster i rad, (19/37)⁵ = 3,57%, kostar 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Genomsnitt: vinsterna ger $10 × k med sannolikheten (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 för k = 1 till 5, och bristningen tar $570 med sannolikheten 3,57%; tillsammans −$2,32. Insatserna är i genomsnitt $85,73 per cykel, och 2,32/85,73 = 2,70%. Den vanliga Martingale vid samma bord brister efter sex förluster, i 1,83% av cyklerna, med −$630, och förlorar $1,74 av $64,20 i insatser: återigen 2,70%.
En spelare planerar en Martingale på rött med $1 som första insats vid ett bord med bordsgränsen $1 000, så tio satsningar är möjliga: $1, $2, $4 och så vidare upp till $512. Hur ofta förlorar en cykel alla tio, hur lång tid tar det i genomsnitt, och hur ofta slutar en kväll med 200 satsningar på det sättet?
Visa lösningen
Svar En cykel förlorar alla tio ungefär en gång på 784, vilket kostar $1 023. Det är i genomsnitt omkring 1 600 satsningar, och en kväll med 200 satsningar slår i väggen i omkring 11% av fallen. En cykel förlorar ändå i genomsnitt $0,31 av $11,31 i insatser: 2,70%.
En satsning på rött förlorar med sannolikheten 19/37, nollan inräknad. Tio i rad: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, ungefär 1 på 784. Insatserna 1 + 2 + 4 + … + 512 blir sammanlagt $1 023.
En cykel tar i genomsnitt 2,05 satsningar, så 784 cykler tar omkring 1 600 satsningar. Räknat snurr för snurr dyker en följd av tio förluster upp någonstans bland 200 satsningar i 11,3% av fallen.
Mellan katastroferna vinner spelaren $1 per cykel: omkring $783 före den dåliga, sedan −$1 023, omkring −$240 över hela sträckan. Per cykel: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Insatser per cykel: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Och −0,31/11,31 = −2,70%.
Jämför med $10 som första insats vid en bordsgräns på $500, sex satsningar: väggen kommer en gång på 55 cykler, och en kväll med 200 satsningar möter den i 84% av fallen. En högre bordsgräns gör kraschen ovanligare och större, inte billigare.
Komisk paus
Sällsyntare och större, vid varje gräns. Produkten är konstant.
Källor
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.