Konvergens i längden
Hur genomsnittet sätter sig mot −2,70%, och varför det tar längre tid än intuitionen säger.
Den genomsnittliga förlusten per snurr konvergerar mot −1/37 när snurren ackumuleras, med en spridning som krymper som 1/√N. Efter 1 000 snurr på rött ligger genomsnittet vanligen inom ±3% från sitt förväntade värde.
De stora talens lag
Det löpande genomsnittet av oberoende satsningar går mot väntevärdetmatematikVäntevärdeDet genomsnittliga resultatet per satsning i längden. −1/37 av insatsen för varje vanlig europeisk satsning.Läs hela →. Efter N snurr med enkel chans och en enhetpengarEnhetDen grundinsats som ett system eller en spelare räknar i. Progressioner beskrivs i enheter så att de gäller vid vilket bord som helst.Läs hela → har genomsnittsresultatet per snurr väntevärdet −1/37 och standardavvikelsenmatematikStandardavvikelseKvadratroten ur variansen; ett resultats typiska avstånd från väntevärdet.Läs hela → 1/√N. Vid N = 100 är den spridningen 10% av insatsen, nästan fyra gånger signalen på 2,7%. Vid N = 1 000 är den 3,2%, ungefär lika stor som signalen. Vid N = 10 000 är den 1%, och fördelen syns tydligt. Fördelen är osynlig under en session och omisskännlig under ett år.
Vad som konvergerar och vad som inte gör det
Genomsnittet per snurr konvergerar. Totalen gör det inte: den driver längre från noll när N växer, förväntat med cirka 2,7% av N, med en spridning på √N runt det. En spelare som har spelat 10 000 snurr med $10 förväntas ha förlorat $2 700, plus minus $1 000. Den löpande andelen rödasatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → har för länge sedan satt sig nära 48,65%; det löpande saldot har inte satt sig någonstans.
- p10 −$440
- p25 −$280
- median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Varför intuitionen sviker
Folk förväntar sig att fördelen ska synas snabbt eftersom 2,70% låter mycket, och förväntar sig att långa serier ska ”jämnas ut” eftersom de stora talens lagmatematikDe stora talens lagGenomsnittet av oberoende resultat konvergerar mot väntevärdet när antalet försök växer.Läs hela → säger att genomsnitt konvergerar. Båda intuitionerna bedömer skalan fel: fördelen är liten i förhållande till variansenmatematikVariansEtt mått på hur brett resultaten sprider sig kring väntevärdet. Hög för straight up, låg för enkla chanser.Läs hela → för ett enskilt snurr (σ = 1 enhet mot EV = 0,027), så det krävs (1/0,027)² ≈ 1 400 snurr för att den ska bli synlig på en sigma. Och konvergensen hos genomsnittet drar inte tillbaka totalen; den späder bara ut tidigare svängningar.
Konvergens för andra satsningar
För straight up-satsningarsatsningStraight upEtt enda nummer, betalar 35:1.Läs hela → är σ = 5,84, så samma beräkning ger (5,84/0,027)² ≈ 47 000 snurr för att fördelen ska nå en sigma. En spelare som satsar straight up kan spela i åratal utan att fördelen går att skilja från tur i det egna materialet, samtidigt som spelaren betalar exakt samma 2,70% som den som spelar på rött och ser den inom några veckor.
Följd för att testa system
Den som hävdar att ett system fungerar bör kunna visa det över 10 000 snurr eller fler med ett dokumenterat positivt genomsnitt. Vid 1 000 snurr är ett positivt genomsnitt på enkel chans en händelse som inträffar ungefär en gång av fem under nollhypotesen; vid 100 snurr är det nästan som att singla slant. Simulatorerna på den här webbplatsen kör 2 000 sessioner av din valda längd på en sekund, vilket är mer belägg än något vittnesmål.
Formel
Frågor
SannolikhetenmatematikSannolikhetMåttet på hur troligt ett utfall är, från 0 till 1 eller 0% till 100%. Ett nummer: 1/37 = 2,70%.Läs hela → att någonsin vara på plussidan igen faller mot noll ju mer du spelar. Totalen driver nedåt utan gräns.
Nej. Det betyder att tidigare svängningar blir en mindre andel av ett större stickprov.
För enkel chans cirka 10 000 innan fördelen syns tydligt. För straight up cirka 50 000.
Matte för nöjes skull
Försök själv först. Varje lösning är hopfälld; öppna den när du är redo.
Två vänner spelar 20 omgångar av ett rättvist spelmatematikRättvist spelEtt spel där ingen sida har en fördel: varje satsning har väntevärdet noll.Läs hela →, slantsingling eller röttsatsningRöttEnkel chans på de 18 röda numren. Franska: rouge.Läs hela → mot svartsatsningSvartEnkel chans på de 18 svarta numren. Franska: noir.Läs hela → med nollornahjulNollaDet enda gröna facket, som ingen enkel chans, dussin- eller kolumnsatsning täcker; källan till husets fördel. Kallas även enkelnolla, 0.Läs hela → återbetalda, och för löpande poäng. Räkna de omgångar då var och en ligger före (oavgjort räknas till den som ledde strax innan). Vad är mest sannolikt: att ledningen delas 10 omgångar mot 10, eller att en av vännerna leder alla 20?
Visa lösningen
Svar Att en vän leder alla 20 omgångar är mycket mer sannolikt: 35,2%, räknat för vilken av vännerna som helst, mot 6,1% för jämnt 10 mot 10.
Sannolikheten att en rättvis löpande poäng står lika efter 2k omgångar är u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 efter 10 omgångar och 0,176 efter 20. Ett klassiskt resultat, arcsinuslagen, säger att sannolikheten att en namngiven vän leder i exakt 2k av 2n omgångar är u(2k) × u(2n − 2k).
Att leda alla 20: u(20) × u(0) = 0,176 för varje vän, 35,2% för någon av dem. En jämn delning: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, den minst sannolika fördelningen av alla.
I ett rättvist spel byter ledningen alltså sällan händer. En spelare som har legat före hela kvällen, eller efter hela kvällen, har inte sett något ovanligt, och det säger ingenting om hjulet eller om skicklighet. Epstein (2013) ger samma lag för längre spel: i hälften av fallen leder den turligare sidan under mer än 85% av spelet.
Komisk paus
Genomsnittet konvergerar. Totalen drar bara därifrån.
Källor
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.